Giải Bài 1 Trang 24 Toán 12 : Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số

Hướng dẫn giải bài bác §3. Giá trị lớn số 1 và giá trị nhỏ tuổi nhất của hàm số, Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát điều tra và vẽ vật thị hàm số, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài xích giải bài xích 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12 bao hàm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương thức giải bài bác tập giải tích bao gồm trong SGK để giúp đỡ các em học viên học xuất sắc môn toán lớp 12.

Bạn đang xem: Giải Bài 1 Trang 24 Toán 12 : Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số

Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho hàm số $y = f(x)$ khẳng định trên tập $D$.

– Số $M$ là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số $f$ bên trên $D$

(⇔left{ matrixf(x) le M,forall x in D hfill crexists x_0 in D ext sao cho f(x_0) = M hfill cr ight.)

Kí hiệu : (M=undersetDmax f(x).)

– Số $m$ là giá bán trị bé dại nhất (GTNN) của hàm số $f$ bên trên $D$

(⇔left{ matrixf(x) ge m,forall x in D hfill crexists x_0 in D ext làm thế nào để cho f(x_0) = m hfill cr ight.)

Kí hiệu: (m=undersetDmin f(x).)

2. Phương pháp tính GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

Định lí:

Mọi hàm số liên tiếp trên một đoạn đều có GTLN cùng GTNN trên đoạn đó.

Quy tắc tìm kiếm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) liên tiếp trên đoạn

– Tìm các điểm xi ∈ (a ; b)(i = 1, 2, . . . , n) cơ mà tại đó f"(xi) = 0 hoặc f"(xi) ko xác định.

– Tính f(a), f(b), f(xi) (i = 1, 2, . . . , n) .

– lúc đó: (undersetmax f(x)=max left f(a); f(b); f(x_i) ight \);

(undersetmin f(x)=min left f(a); f(b); f(x_i) ight ;)

Để tìm kiếm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) xác định trên tập hòa hợp D, ta rất có thể khảo giáp sự biến đổi thiên của hàm số bên trên D, rồi địa thế căn cứ vào bảng thay đổi thiên của hàm số mà kết luận về GTLN cùng GTNN của hàm số.

Dưới đấy là phần hướng dẫn trả lời các thắc mắc và bài bác tập vào phần buổi giao lưu của học sinh sgk Giải tích 12.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 20 sgk Giải tích 12

Xét tính đồng biến, nghịch đổi mới và tính giá bán trị phệ nhất, giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của hàm số:

a) $y = x^2$ trên đoạn $<-3; 0>$;

b) (y = frac (x + 1)(x – 1)) bên trên đoạn $<3; 5>$.

Trả lời:

a) Ta có: $y’ = 2x ≤ 0$ bên trên đoạn $<-3; 0>$. Vậy hàm số nghịch đổi mới trên đoạn $<-3,0>$.

Khi đó trên đoạn $<-3,0>$: hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = -3$ cùng giá trị lớn nhất bằng $9$, hàm số đạt giá trị bé dại nhất tại $x = 0$ với giá trị bé dại nhất $= 0$.

b) Ta có: (y’ = – frac2(x-1)^2)

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 21 sgk Giải tích 12

*

Trả lời:

Hàm số:

(y = left{ matrix{– x^2 + 2,;,, – 2 le x le 1 hfill crx,,;,,,1

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 23 sgk Giải tích 12

Lập bảng thay đổi thiên của hàm số (f(x) = – frac11 + x^2).

Từ đó suy trả giá trị nhỏ tuổi nhất của $f(x)$ trên tập xác định.

Trả lời:

– TXĐ: $D = R$.

(y’ = frac2x(1 + x^2)^2). Mang lại $y’ = 0$ thì $x = 0.$

– Bảng biến đổi thiên:

*

Vậy giá chỉ trị nhỏ nhất của hàm số đã cho rằng $ -1$ tại $x = 0$.Dưới đây là Hướng dẫn giải bài bác 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12. Chúng ta hãy gọi kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!

Bài tập

annexsport.store giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài xích tập giải tích 12 kèm bài bác giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12 của bài bác §3. Giá bán trị lớn số 1 và giá bán trị bé dại nhất của hàm số vào Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát điều tra và vẽ thứ thị hàm số cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

*
Giải bài 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12

1. Giải bài 1 trang 23 sgk Giải tích 12

Tính giá bán trị béo nhất, giá chỉ trị nhỏ dại nhất của hàm số:

a) (y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35) trên các đoạn (<-4; 4>) cùng (<0;5>).

b) (y = x^4 – 3x^2 + 2) trên những đoạn (<0;3>) và (<2;5>).

c) (y =frac (2-x)(1-x)) trên các đoạn (<2;4>) với (<-3;-2>).

d) (y =sqrt(5-4x)) trên đoạn (<-1;1>).

Bài giải:

a) Xét hàm số (y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35)

– Tập xác định (D=mathbbR).

– Hàm số tiếp tục trên những đoạn <-4;4> và <0;5> nên bao gồm GTLN cùng GTNN trên từng đoạn này.

Xem thêm: Top 5 Phần Mềm Convert Mp4 To Avi Converter, Convert Mp4 To Avi Online & Free

Ta có: y’ = 3x2 – 6x – 9 = 3(x2 – 2x – 3)

♦ trên đoạn <-4;4>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 3 in left< – 4;4 ight>\ x = – 1 in left< – 4;4 ight> endarray ight.)

Ta có: y(-4)=-41; y(4)=15; y(-1)=40; y(3)=8.

Vậy:

– giá chỉ trị lớn số 1 của hàm số là (mathop max ylimits_x in left< – 4;4 ight> = y( – 1) = 40).

– giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của hàm số là (mathop min ylimits_x in left< – 4;4 ight> = y( – 4) = – 41.)

♦ bên trên đoạn <0;5>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = 3 in left< 0;5 ight>\ x = – 1 otin left< 0;5 ight> endarray ight.)

Ta có: y(0)=35; y(5)=40; y(3)=8.

Vậy:

– giá trị lớn nhất của hàm số là (mathop max ylimits_x in left< 0;5 ight> = y(5) = 40.)

– giá chỉ trị bé dại nhất của hàm số là (mathop min ylimits_x in left< 0;5 ight> = y(3) = 8.)

b) Xét hàm số (y = x^4 – 3x^2 + 2)

– Tập xác định $D=R$

– Hàm số liên tiếp trên các đoạn (<0;3>) và (<2;5>) nên gồm GTLN và GTNN trên những đoạn này:

– Đạo hàm: y’=4x3-6x.

♦ bên trên đoạn <0;3>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = – sqrt frac32 otin left< 0;3 ight>\ x = 0 in left< 0;3 ight>\ x = sqrt frac32 in left< 0;3 ight> endarray ight.)

Ta có: y(0)=2; (yleft( sqrt frac32 ight) = – frac14); y(3)=56.

Vậy:

– giá trị lớn nhất của hàm số:(mathop max ylimits_x in left< 0;3 ight> = yleft( 3 ight) = 56.)

– giá bán trị nhỏ tuổi nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 0;3 ight> = yleft( sqrt frac32 ight) = – frac14.)

♦ bên trên đoạn <2;5>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = – sqrt frac32 otin left< 2;5 ight>\ x = 0 otin left< 2;5 ight>\ x = sqrt frac32 otin left< 0;3 ight> endarray ight.)

Ta có: y(2)=6; y(5)=552

Vậy:

– giá trị lớn nhất của hàm số (mathop max ylimits_x in left< 2;5 ight> = yleft( 6 ight) = 552.)

– giá chỉ trị bé dại nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 2;5 ight> = yleft( 2 ight) = 6.)

c) Xét hàm số (y =frac (2-x)(1-x))

Hàm số có tập khẳng định D = R 1 và tiếp tục trên các đoạn <2;4> và <-3;-2> ở trong D, cho nên vì vậy hàm số bao gồm GTLN, GTNN trên từng đoạn này.

Ta tất cả :

Ta có: (y’=frac1.left( -1 ight)-1.left( -2 ight)left( x-1 ight)^2=frac1left( x-1 ight)^2>0 forall x e 1.)

Với (D=left< 2; 4 ight>) có: (yleft( 2 ight)=0; yleft( 4 ight)=frac23.)

Vậy (undersetxin left< 2; 4 ight>mathopmin ,y=0 khi x=2) cùng (undersetxin left< 2; 4 ight>mathopmax ,y=frac23 khi x=4.)

♦ bên trên đoạn <2;4>: (y(2)=0;y(4)=frac23.)

Vậy:

– giá bán trị bé dại nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 2;4 ight> = yleft( 2 ight) = 0.)

– giá trị lớn nhất của hàm số: (mathop max ylimits_x in left< 2;4 ight> = yleft( 4 ight) = frac23.)

♦ bên trên đoạn <-3;-2>: (y(-3)=frac54;y(-2)=frac43.)

Vậy:

– giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< – 3;-2 ight> = yleft( – 3 ight) = frac54.)

– giá bán trị lớn nhất của hàm số: (mathop max ylimits_x in left< – 3; – 2 ight> = yleft( – 2 ight) = frac43.)

d) Xét hàm số (y =sqrt(5-4x))

Hàm số tất cả tập xác định ( mD = left( – infty ;frac54 ight>) nên xác minh và liên tục trên đoạn <-1;1>, cho nên vì thế có GTLN, GTNN bên trên đoạn <-1;1>.

Ta có:(y’ = – frac2sqrt 5 – 4x

2. Giải bài 2 trang 24 sgk Giải tích 12

Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16 cm, hãy tra cứu hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Bài giải:

♦ phương pháp 1: Áp dụng bất đăng thức cô-si

Kí hiệu $x, y$ đồ vật tự là chiều dài cùng chiều rộng của hình chữ nhật $(0 x>0; 8>y>0)$.

Khi kia chu vi: $p=2(x+y)=16 ⇔ x+y=8 ⇔ y=8-x.$

Ta có diện tích của hình chữ nhật là:

$S=x.y=x(8-x) ⇔ S=-x^2 + 8x$.

Xét hàm số: $S(x) = -x$2 + 8x$ trên khoảng $(0, 8)$ ta có:

$S’=-2x + 8; S’= 0 ⇔ x=4$

Bảng biến đổi thiên:

*

Từ bảng biến chuyển thiên ta thấy hàm số đạt giá bán trị lớn nhất tại x=4 lúc ấy maxS = 16.

Với $x=4$ suy ra $y=4$.

Vậy hình vuông có cạnh bởi $4$ là hình có diện tích lớn nhất.

3. Giải bài xích 3 trang 24 sgk Giải tích 12

Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích $48 m^2$, hãy khẳng định hình chữ nhật có chu vi nhỏ tuổi nhất.

Bài giải:

♦ phương pháp 1: áp dụng bất đẳng thức cô-si:

*

♦ cách 2: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá chỉ trị lớn nhất và nhỏ tuổi nhất của hàm số

Gọi x,y theo thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật (x>0,y>0)

Ta có:

Khi kia chu vi của hình chữ nhật là (p=2(x+y) Leftrightarrow p=2x+frac96x.)

Xét hàm số (Pleft( x ight)=2left( x+dfrac48x ight)) trên (left( 0;+infty ight)) ta có:

(eginarraylP’left( x ight) = 2left( 1 – dfrac48x^2 ight) Rightarrow P’left( x ight) = 0 Leftrightarrow x^2 – 48 = 0\Leftrightarrow x^2 = 48 Leftrightarrow left< eginarraylx = 4sqrt 3 ; in left( 0; + infty ight)\x = – 4sqrt 3 ;; otin left( 0; + infty ight)endarray ight..endarray)

Ta có: (Pleft( 4sqrt3 ight)=16sqrt3.)

(eginalign & undersetx o 0mathoplim ,Pleft( x ight)=undersetx o 0mathoplim , 2left( x+dfrac48x ight)=+infty . \ & undersetx o +infty mathoplim ,Pleft( x ight)=undersetx o +infty mathoplim , 2left( x+dfrac48x ight)=+infty . \ & Rightarrow Min Pleft( x ight)=16sqrt3 khi x=4sqrt3. \ và Rightarrow y=dfrac484sqrt3=4sqrt3m. \ endalign)

Bảng đổi mới thiên:

*

Từ bảng đổi mới thiên ta có: (min p. = 16sqrt 3) khi (x = 4sqrt 3 ,).

Với (x = 4sqrt 3 ,Rightarrow y=frac48x=4sqrt 3).

Vậy hình vuông vắn có cạnh (4sqrt 3 ,) là hình bao gồm chu vi nhỏ dại nhất theo yêu thương cầu bài xích toán.

4. Giải bài xích 4 trang 24 sgk Giải tích 12

Tính giá trị phệ nhất của các hàm số sau:

a) (y=frac41+x^2).

b) (y=4x^3-3x^4).

Bài giải:

a) (y=frac41+x^2.)

Tập xác định: (D=R.)

Ta có: (y’=frac-2x.4left( 1+x^2 ight)^2=frac-8xleft( 1+x^2 ight)^2Rightarrow y’=0Leftrightarrow 8x=0Leftrightarrow x=0.)

(undersetx o pm infty mathoplim ,frac41+x^2=0.)

Ta bao gồm bảng đổi mới thiên:

*

Từ bảng đổi thay thiên ta thấy hàm số đạt GTLN trên (x=0; undersetRmathopmax ,y=4.)

b) (y=4x^3-3x^4.)

Tập xác định: (D=R.)

Ta có: (y’=12x^2-12x^3Rightarrow y’=0Leftrightarrow 12x^2-12x^3=0Leftrightarrow left< eginalign& x=0 \ và x=1 \ endalign ight..)

(undersetx o pm infty mathoplim ,y=undersetx o pm infty mathoplim ,left( 4x^3-3x^4 ight)=-infty .)

Ta gồm bảng vươn lên là thiên:

*

Theo bảng biến hóa thiên ta thấy hàm số đạt GTLN tại (x=1; undersetRmathopmax ,y=1.)

5. Giải bài 5 trang 24 sgk Giải tích 12

Tính giá trị bé dại nhất của những hàm số sau:

a) (y = left | x ight |);

b) (y = x+frac4x ( x > 0))

Bài giải:

a) (y=left| x ight|.)

Ta có: y = |x| ≥ 0 ∀ x

Tập xác định: (D=R.)

Ta có bảng biến thiên:

*

Từ bảng phát triển thành thiên ta gồm hàm số đạt GTNN trên (x=0; undersetRmathopmin ,=0.)

b) (y=x+frac4x left( x>0 ight).)

Ta có: (y’=1-frac4x^2Rightarrow y’=0Leftrightarrow 1-frac4x^2=0Leftrightarrow x^2-4=0Leftrightarrow left< eginalign& x=-2 otin left( 0;+infty ight) \ và x=2in left( 0;+infty ight) \ endalign ight..)

Bảng thay đổi thiên:

*

Từ bảng đổi mới thiên ta thấy: (undersetleft( 0;+infty ight)mathopMin,y=4 khi x=2.)

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài xích tập sgk toán lớp 12 với giải bài xích 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12!